Ada yang tau kelanjutan dari pola bilangan berikut:

1 , 7 , 16 , 28 , 43 , …. , …. , ….

Bilangan-bilangan di atas merupakan contoh dari sekian banyak barisan dan deret.

Apa sebenarnya barisan dan deret? Barisan merupakan bilangan-bilangan yang disusun mengikuti pola tertentu sedangkan deret itu tiada lain barisan yang dijumlahkan.

Pada barisan di atas, kita dapat melanjutkan posisi selanjutnya seperti ini:

Bagaimana dengan barisan berikut:

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ….. , ….. , ……

Ada yang tau kelanjutannya?

Ya benar.. pada barisan ini, bilangan selanjutnya merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Contoh pada posisi ketiga, nilai 3 merupakan penjumlahan 1 + 2 sedangkan pada posisi ke enam, nilai 13 merupakan penjumlahan 5 + 8. Jadi, kelanjutan barisan tersebut:

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 dst..

Barisan ini dikenal dengan nama barisan fibonacci.

Kita kembali ke contoh barisan pertama.

Apabila posisi kita namakan sebagai suku dan diberi lambang U maka pada contoh barisan pertama dapat kita simpulkan seperti ini:

Adakah pola umum yang bisa kita gunakan untuk mencari tau berapakah sebenarnya nilai posisi ke n atau U_n? misalnya kalo ada yang tanya, berapa nilai posisi ke 100 (U₁₀₀) ?

Kalo kita gunakan hitungan satu persatu maka cara ini sangat merepotkan.. Yuk kita cari cara untuk mencari bentuk umum U_n pada contoh barisan pertama di atas.

Barisan yang kutumatika contohkan di atas merupakan barisan tiga tingkat dengan pembagian seperti ini:

Terlihat bahwa pada tingkat ke tiga terdapat nilai tetap sebesar 3.

Bentuk umum barisan yang seperti ini adalah U_n = an² + bn + c

Yuk kita gunakan bentuk umum di atas untuk mencari U_n.

Pada posisi 1, nilai U₁ = 1, berarti kalo kita ganti indeks n pada U_n = an² + bn + c menjadi 1 kita peroleh:

U₁ = a1² + b1 + c = 1 atau     a + b + c = 1  (persamaan 1)

Dan selanjutnya untuk U₂ kita peroleh :

U₂ = a2² + b2 + c =  7 atau     4a + 2b + c = 7 (persamaan 2)

Kemudian untuk U₃ menjadi:

U₃ = a3² + 3b + c =16 atau     9a + 3b + c = 16 (persamaan 3)

Tiga kalimat matematika di atas tiada lain persamaan linear 3 variable. Nah tugas kita selanjutnya mencari tau berapa nilai a, b dan c nya.

Kita kurangi persamaan 2 dengan persamaan 1

4a + 2b + c = 7

a   +   b + c = 1 –

3a  + b        = 6       (persamaan 4)

Lalu kita kurangi persamaan 3 dengan persamaan 1

9a + 3b + c = 16

a   +   b + c = 1 -

8a +  2b      = 15        (persaman 5)

Persamaan 4 kita kalikan dengan 2 menjadi 6a + 2b = 12

Kemudian persamaan 5 kita kurangi dengan 6a + 2b = 12

8a +  2b      = 15

6a +  2b      = 12 -

2a               =  3

Kita peroleh 2a = 3 atau a = 3/2

Kita masukkan a =3/2 ke 3a + b = 6 kita peroleh :

3×3/2 + b = 6 atau 9/2 + b = 6 sehingga b = 6 – 9/2 = 12/2 – 9/2 = 3/2

Nilai a dan b sudah diperoleh.. hayo semangat mencari c!!

Dari  a +  b + c = 1 kita peroleh :

3/2 + 3/2 + c = 1

atau

3 + c = 1 sehingga c = 1-3 = -2

Dan bentuk U_n nya pun bisa kita peroleh:

U_n = an² + bn + c  dengan a = 3/2 ,  b = 3/2 dan c = -2

Sehingga

U_n = 3/2  n² +  3/2  n –   2

Sekarang kita tes apakah bentuk U_n ini benar atau salah.

Kalo kita ganti n dengan  6 untuk mencari nilai posisi ke enam kita peroleh:

U₆ = 3/2 x 6² +  3/2 x 6  -  2  =  54 + 9 – 2  = 61

Yap tepat seperti yang kita peroleh dengan cara manual di atas tadi.

Sekarang, kita bisa menghitung posisi ke 100 dengan mudah.

U₁₀₀ = 3/2 x 100² +  3/2 x 100  -   2  =   15000 + 150 – 2 = 15148.

Hmmm… ada yang bisa menghitung U_1juta ??

Selamat belajar.

Nantikan postingan berikutnya tentang barisan aritmatika dan geometri..

kali ini kutumatika akan membicarakan tentang teorema phytagoras.. Yup siapa yang tidak kenal teorema sejak zaman baheula ini.. Anak SD pun tau..

Terorema phytagoras bilang kalo untuk setiap segitiga siku-siku, ada hubungan yang sangat harmonis antara ketiga sisinya.. hubungan tersebut seperti gambar berikut:

phytagoras

sahabat ada yang tau ga’ bukti kalo apa yang dikatakan phytagoras itu benar?..

yuk kita buktikan bersama-sama kalo teorema phytagoras itu benar.

Coba perhatikan persegi berikut:

Luas persegi tersebut bisa dihitung dengan dua cara.

cara 1

luas persegi       = sisi x sisi = (a+b)(a+b) = a² + 2ab + b²

cara 2

luas persegi       = 4 luas segitiga warna biru + luas persegi warna kuning

= 4 x 1/2 alas x tinggi + sisi x sisi

= (4 x 1/2 x a x b) + (c x c)

= 2ab + c²

Karena kedua cara sama nilainya, maka ruas kanan kedua persamaan bisa kita samakan.

Jadinya,  a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Maka a² + b² = c²

Dengan demikian benarlah pak phytagoras..