Mengenal barisan dan deret

Assalamu’alaikum sahabat

Ada yang tau kelanjutan dari pola bilangan berikut:

1 , 7 , 16 , 28 , 43 , …. , …. , ….

Bilangan-bilangan di atas merupakan contoh dari sekian banyak barisan dan deret.

Apa sebenarnya barisan dan deret? Barisan merupakan bilangan-bilangan yang disusun mengikuti pola tertentu sedangkan deret itu tiada lain barisan yang dijumlahkan.

Pada barisan di atas, kita dapat melanjutkan posisi selanjutnya seperti ini:

Bagaimana dengan barisan berikut:

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ….. , ….. , ……

Ada yang tau kelanjutannya?

Ya benar.. pada barisan ini, bilangan selanjutnya merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Contoh pada posisi ketiga, nilai 3 merupakan penjumlahan 1 + 2 sedangkan pada posisi ke enam, nilai 13 merupakan penjumlahan 5 + 8. Jadi, kelanjutan barisan tersebut:

1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 dst..

Barisan ini dikenal dengan nama barisan fibonacci.

Kita kembali ke contoh barisan pertama.

Apabila posisi kita namakan sebagai suku dan diberi lambang U maka pada contoh barisan pertama dapat kita simpulkan seperti ini:

Adakah pola umum yang bisa kita gunakan untuk mencari tau berapakah sebenarnya nilai posisi ke n atau U_n? misalnya kalo ada yang tanya, berapa nilai posisi ke 100 (U₁₀₀) ?

Kalo kita gunakan hitungan satu persatu maka cara ini sangat merepotkan.. Yuk kita cari cara untuk mencari bentuk umum U_n pada contoh barisan pertama di atas.

Barisan yang kutumatika contohkan di atas merupakan barisan tiga tingkat dengan pembagian seperti ini:

Terlihat bahwa pada tingkat ke tiga terdapat nilai tetap sebesar 3.

Bentuk umum barisan yang seperti ini adalah U_n = an² + bn + c

Yuk kita gunakan bentuk umum di atas untuk mencari U_n.

Pada posisi 1, nilai U₁ = 1, berarti kalo kita ganti indeks n pada U_n = an² + bn + c menjadi 1 kita peroleh:

U₁ = a1² + b1 + c = 1 atau     a + b + c = 1  (persamaan 1)

Dan selanjutnya untuk U₂ kita peroleh :

U₂ = a2² + b2 + c =  7 atau     4a + 2b + c = 7 (persamaan 2)

Kemudian untuk U₃ menjadi:

U₃ = a3² + 3b + c =16 atau     9a + 3b + c = 16 (persamaan 3)

Tiga kalimat matematika di atas tiada lain persamaan linear 3 variable. Nah tugas kita selanjutnya mencari tau berapa nilai a, b dan c nya.

Kita kurangi persamaan 2 dengan persamaan 1

4a + 2b + c = 7

a   +   b + c = 1 –

3a  + b        = 6       (persamaan 4)

Lalu kita kurangi persamaan 3 dengan persamaan 1

9a + 3b + c = 16

a   +   b + c = 1 -

8a +  2b      = 15        (persaman 5)

Persamaan 4 kita kalikan dengan 2 menjadi 6a + 2b = 12

Kemudian persamaan 5 kita kurangi dengan 6a + 2b = 12

8a +  2b      = 15

6a +  2b      = 12 -

2a               =  3

Kita peroleh 2a = 3 atau a = 3/2

Kita masukkan a =3/2 ke 3a + b = 6 kita peroleh :

3×3/2 + b = 6 atau 9/2 + b = 6 sehingga b = 6 – 9/2 = 12/2 – 9/2 = 3/2

Nilai a dan b sudah diperoleh.. hayo semangat mencari c!!

Dari  a +  b + c = 1 kita peroleh :

3/2 + 3/2 + c = 1

atau

3 + c = 1 sehingga c = 1-3 = -2

Dan bentuk U_n nya pun bisa kita peroleh:

U_n = an² + bn + c  dengan a = 3/2 ,  b = 3/2 dan c = -2

Sehingga

U_n = 3/2  n² +  3/2  n –   2

Sekarang kita tes apakah bentuk U_n ini benar atau salah.

Kalo kita ganti n dengan  6 untuk mencari nilai posisi ke enam kita peroleh:

U₆ = 3/2 x 6² +  3/2 x 6  -  2  =  54 + 9 – 2  = 61

Yap tepat seperti yang kita peroleh dengan cara manual di atas tadi.

Sekarang, kita bisa menghitung posisi ke 100 dengan mudah.

U₁₀₀ = 3/2 x 100² +  3/2 x 100  -   2  =   15000 + 150 – 2 = 15148.

Hmmm… ada yang bisa menghitung U_1juta ??

Selamat belajar.

Nantikan postingan berikutnya tentang barisan aritmatika dan geometri..

Advertisement